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🧮 数学 · Binomial Theorem Calculator

(a+b)ⁿ 二項定理展開計算機

二項定理を使用して展開します。(a±b)^n = Σ ₙCₖ a^{n−k} (±b)^k の各項を手順付きで表示。文字式・数値・結合式・一括・検算に対応（n≤12）。

監修: 小林 直樹

更新日:

計算機

二項定理 (a±b)^n = Σ ₙCₖ a^{n−k} (±b)^k で展開します。各項の係数と累乗を手順付きで表示します。 べき乗展開・(a+b)³・(a−b)³・(a+b)²・(x+a)(x+b)もご覧ください。

二項定理による展開

a・b・指数 n と符号（+ または −）を入力。例: a=x, b=2, n=5 → (x+2)^5

展開結果

x^5 + 10x^4 + 40x³ + 80x² + 80x + 32

二項定理で展開すると x^5 + 10x^4 + 40x³ + 80x² + 80x + 32 になります。

式
(x+2)^5
a
x
b
2
n
5
二項係数
1, 5, 10, 10, 5, 1
項の和
x^5 + 10x^4 + 40x³ + 80x² + 80x + 32
整理後
x^5 + 10x^4 + 40x³ + 80x² + 80x + 32
文字
x

各項（二項定理）

k=0（ₙCₖ=1）
x^5
k=1（ₙCₖ=5）
10x^4
k=2（ₙCₖ=10）
40x³
k=3（ₙCₖ=10）
80x²
k=4（ₙCₖ=5）
80x
k=5（ₙCₖ=1）
32

展開の過程

  1. 公式: (a+b)^n = Σₖ ₙCₖ a^{n−k} b^k（k=0…n）
  2. a = x
  3. b = 2
  4. n = 5
  5. 式: (x+2)^5
  6. 二項係数（パスカルの三角形の1行）:
  7. ₙC_0 = 1
  8. ₙC_1 = 5
  9. ₙC_2 = 10
  10. ₙC_3 = 10
  11. ₙC_4 = 5
  12. ₙC_5 = 1
  13. 各項:
  14. k=0: ₙC_0·a^5·1 = (1)·(x^5)·(1) → x^5
  15. k=1: ₙC_1·a^4·b = (5)·(x^4)·(2) → 10x^4
  16. k=2: ₙC_2·a^3·b^2 = (10)·(x³)·(4) → 40x³
  17. k=3: ₙC_3·a^2·b^3 = (10)·(x²)·(8) → 80x²
  18. k=4: ₙC_4·a·b^4 = (5)·(x)·(16) → 80x
  19. k=5: ₙC_5·1·b^5 = (1)·(1)·(32) → 32
  20. 項の和: x^5 + 10x^4 + 40x³ + 80x² + 80x + 32
  21. 整理 → x^5 + 10x^4 + 40x³ + 80x² + 80x + 32
  22. = x^5 + 10x^4 + 40x³ + 80x² + 80x + 32
(x+2)^5 = Σ ₙCₖ a^{n−k} b^k
= x^5 + 10x^4 + 40x³ + 80x² + 80x + 32
= x^5 + 10x^4 + 40x³ + 80x² + 80x + 32

📐 計算式

(a+b)^n = Σₖ ₙCₖ a^{n−k} b^k
(a−b)^n = Σₖ (−1)^k ₙCₖ a^{n−k} b^k
例: (x+2)^3 = x³ + 6x² + 12x + 8
例: (x−1)^4 = x⁴ − 4x³ + 6x² − 4x + 1

💡 計算例

例1: (x+2)^5

  • a: x
  • b: 2
  • n: 5

結果: x⁵ + 10x⁴ + 40x³ + 80x² + 80x + 32

二項定理・和

例2: (x−1)^4

  • a: x
  • b: 1
  • n: 4
  • 符号: −

結果: x⁴ − 4x³ + 6x² − 4x + 1

二項定理・差

例3: (a+b)^3

  • a: a
  • b: b
  • n: 3

結果: a³ + 3a²b + 3ab² + b³

一般形

❓ よくある質問

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