正弦定理の使い方

1.正弦定理とは

正弦定理（せいげんていり）は、三角形の各辺とその対角の正弦の比が等しいという公式です。共通の比は外接円の直径 2R にも等しくなります。

a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R

• 辺 a の対角が ∠A、辺 b の対角が ∠B、辺 c の対角が ∠C
• 角と対辺のペアが1組でも分かれば、ほかの辺・角へ広げやすい
• 2R は外接円の直径

2.辺を求める

角 A・対辺 a・角 B が分かるとき、辺 b は次の式で求まります。

b = a · sin B / sin A

1. まず必要な角がそろっているか確認する（足りなければ 180° − 既知の角）
2. 正弦定理で比をそろえる
3. 求めたい辺 = 既知の辺 ×（対応する sin）÷（既知の対角の sin）

3.角を求める

角 A・対辺 a・隣辺 b が分かるとき（SSA）、角 B は次のように求めます。

sin B = b · sin A / a
∠B = arcsin( sin B ) または 180° − arcsin( sin B )

• arcsin の主値は鋭角側
• もう一方の候補は 180° − 主値（鈍角側）
• 内角の和が 180° を超える候補は捨てる

4.あいまいケース（SSA）

角・対辺・隣辺だけが分かるとき、三角形が0・1・2通りになることがあります。これをあいまいケースと呼びます。

• sin B > 1 → 解なし
• sin B = 1 → 直角でちょうど1解
• A が鋭角で a < b かつ第2解も内角和を満たす → 解が2つ
• A が鈍角のときは a > b でないと三角形にならない

5.余弦定理との使い分け

次の目安で選ぶと迷いにくいです。

1. 角と対辺のペアが使える → 正弦定理
2. 2辺とその夾角が分かる → 余弦定理（SAS）
3. 3辺だけ分かる → 余弦定理（SSS）
4. 2角と挟まれた辺 → 正弦定理（ASA）

6.例題1：辺を求める

∠A = 40°、a = 8、∠B = 60° のとき、辺 b を求めます。

b = 8 · sin 60° / sin 40°
  = 8 · (√3/2) / sin 40°
  ≈ 10.77
答え: 約 10.77

7.例題2：あいまいケース

∠A = 30°、a = 4、b = 6 のとき、角 B を求めます。

sin B = 6 · sin 30° / 4 = 6 · 0.5 / 4 = 0.75
∠B₁ = arcsin(0.75) ≈ 48.59°
∠B₂ = 180° − 48.59° ≈ 131.41°
どちらも ∠A + ∠B < 180° なので解は2つ
答え: 約 48.6° または 約 131.4°

8.例題3：ASA

∠A = 40°、∠B = 60°、挟まれた辺 c = 10 のとき、辺 a を求めます。

∠C = 180° − 40° − 60° = 80°
a = 10 · sin 40° / sin 80° ≈ 7.30
答え: 約 7.30

9.よくある間違い

次のミスに注意してください。

• 辺と対角の対応を取り違える（a の対角は A）
• SSA であいまいケースを見落とす
• arcsin の鈍角側（180°−θ）を忘れる、または不適な方を残す
• 角の単位（度／ラジアン）をそろえ忘れる
• 余弦定理が向いている条件なのに無理に正弦定理を使う

10.計算機で確かめる

公式を覚えたら、正弦定理計算機で AAS・SSA・ASA を試してみましょう。余弦定理計算機や三角関数・三角形の面積ツールとあわせると、図形問題の検算に便利です。