余弦定理の使い方

1.余弦定理とは

余弦定理（よげんていり）は、三角形の辺と角の関係を表す公式です。2辺とその間の角（夾角）が分かれば対辺が求まり、3辺が分かれば角が求まります。

直角三角形だけに使える三平方の定理を、任意の三角形へ一般化したものと考えると分かりやすいです。

2.辺を求める公式

辺 a・b とその夾角 C が分かるとき、対辺 c は次の式で求まります。

c² = a² + b² − 2ab cos C
したがって c = √(a² + b² − 2ab cos C)

• 角 C は辺 a と辺 b のあいだの角（夾角）
• 同様に a² = b² + c² − 2bc cos A、b² = a² + c² − 2ac cos B
• 角の単位に注意（通常は度数法かラジアンかをそろえる）

3.角を求める公式

3辺が分かるときは、余弦を求めてから逆余弦（arccos）で角にします。

cos C = (a² + b² − c²) / (2ab)
∠C = arccos( (a² + b² − c²) / (2ab) )

• 辺 c は求めたい角 C の対辺
• cos が正なら鋭角、0 なら直角、負なら鈍角
• 三角形の不等式 a+b>c などを満たす必要がある

4.三平方の定理との関係

角 C が 90° のとき cos 90° = 0 なので、余弦定理は三平方の定理そのものになります。

C = 90° のとき
c² = a² + b² − 2ab · 0 = a² + b²

5.いつ使うか

次の条件のときに余弦定理が向いています。

1. 2辺とその夾角が分かる → 対辺を求める（SAS）
2. 3辺が分かる → 角を求める（SSS）
3. 直角かどうか分からない一般の三角形で辺・角を補う
4. 正弦定理で辺や角の比が使えるときは、そちらの方が簡単なこともある

6.例題1：辺を求める

a = 5、b = 6、夾角 C = 60° のとき、辺 c を求めます。

cos 60° = 1/2
c² = 5² + 6² − 2·5·6·(1/2)
   = 25 + 36 − 30
   = 31
c = √31
答え: √31（≈ 5.57）

7.例題2：角を求める（3-4-5）

辺 a = 3、b = 4、c = 5 のとき、角 C（辺 c の対角）を求めます。

cos C = (3² + 4² − 5²) / (2·3·4)
      = (9 + 16 − 25) / 24
      = 0 / 24 = 0
∠C = 90°
答え: 90°（直角三角形）

8.例題3：鈍角になる場合

a = 2、b = 3、c = 4 のとき、角 C を求めます。

cos C = (2² + 3² − 4²) / (2·2·3)
      = (4 + 9 − 16) / 12
      = (−3) / 12 = −1/4
∠C = arccos(−1/4) ≈ 104.48°
答え: 約 104.5°（鈍角）

9.よくある間違い

次のミスに注意してください。

• 夾角と対辺の対応を取り違える（角 C の対辺は c）
• 角の単位（度／ラジアン）をそろえ忘れる
• 符号を間違える（−2ab cos C のマイナス）
• 三角形にならない3辺で角を求めようとする
• 直角と決めつけて三平方だけ使う（鈍角・鋭角のチェックを忘れる）

10.計算機で確かめる

公式を覚えたら、余弦定理計算機で SAS・SSS を試してみましょう。三角関数計算機や三角形の面積・三平方の定理ツールとあわせると、図形問題の検算に便利です。