確率の求め方（ステップ解説）

1.この記事で学ぶ流れ

確率は「どれくらい起きそうか」を 0 から 1（または 0% から 100%）の数で表す考え方です。まずは基本の割り算から始め、余事象・和と積・条件付き・数え上げ・反復試行へと進みます。

1. 用語をそろえる（試行・事象・全事象）
2. 古典的確率：場合の数 ÷ 全事象
3. 余事象で「少なくとも」「〜でない」を楽に解く
4. 独立・排反と、積の法則・和の法則
5. 条件付き確率とベイズの定理（結果から原因を更新）
6. 順列・組合せで場合の数を数える
7. 二項分布と「少なくとも1回」
8. 例題で手順を固定し、計算機で検算する

2.ステップ1：用語を押さえる

言葉がそろっていないと、公式のどれを使うかで迷いやすくなります。次の意味を先に固定しましょう。

0 ≤ P(事象) ≤ 1
必ず起きる → P = 1
絶対起きない → P = 0

• 試行 … サイコロを振る、コインを投げるなど、結果が偶然に決まる行為
• 根元事象 … 「1の目が出る」など、これ以上分けられない1つの結果
• 全事象（標本空間）… 起こりうるすべての結果の集まり
• 事象 … 着目したい結果の集まり（例: 偶数の目）
• 同様に確からしい … どの根元事象も同じ起こりやすさとみなせる状態

3.ステップ2：古典的確率（基本公式）

結果が有限個で、同様に確からしいとき、いちばん基本の公式です。

P(A) = （事象 A の場合の数）÷（起こりうるすべての場合の数）

• サイコロ1回の全事象は 6 通り
• トランプ1枚なら通常 52 通り（ジョーカーなし）
• 「同様に確からしくない」ときは単純な割り算だけでは不十分（重み付きや実験確率を使う）

1. 全事象を列挙する（または総数を決める）
2. 着目する事象に入る場合を数える
3. favorable ÷ total を計算する
4. 必要なら約分し、小数・パーセントでも確認する

4.例題A：サイコロ（基本）

公正なサイコロを1回振るとき、偶数の目が出る確率を求めます。

全事象: 1,2,3,4,5,6 → 6通り
偶数: 2,4,6 → 3通り
P = 3/6 = 1/2 = 0.5 = 50%
答え: 1/2

1. 全事象の個数を数える → 6
2. 偶数を数える → 3
3. 3÷6 を約分 → 1/2

5.ステップ3：余事象（「〜でない」「少なくとも」の入口）

事象 A が起きないことを余事象といい、Aᶜ や A̅ と書きます。直接数えにくいときは、余事象の方が簡単になることが多いです。

P(Aᶜ) = 1 − P(A)
したがって P(A) = 1 − P(Aᶜ)

• 「少なくとも1回起きる」= 1 −「一度も起きない」
• 「全部成功」の余事象は「1回以上失敗」
• 余事象を使うと数え上げの抜け漏れを減らせる

1. 聞きたいことが「〜でない」「一度も起きない」など否定形か確認する
2. 否定側の確率を求める
3. 1 から引く

6.例題B：余事象

サイコロを1回振るとき、1以外の目が出る確率を求めます。

P(1の目) = 1/6
P(1以外) = 1 − 1/6 = 5/6
答え: 5/6

7.ステップ4：積の法則と和の法則

2つの事象 A, B があるとき、「両方」「どちらか」を扱う公式が中心になります。独立か排反かで式が変わります。

独立なとき（一方が他方に影響しない）
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
P(A ∪ B) = P(A)+P(B)−P(A)·P(B)

排反（同時に起きない）なとき
P(A ∪ B) = P(A)+P(B)
P(A ∩ B) = 0

• 独立の例: 別々のコインを投げる
• 排反の例: サイコロ1回で「偶数」と「奇数」
• 排反でない例: 「偶数」と「3以下」（2 が重なる）→ 和は単純足し算できない

1. 「かつ（両方）」か「または（どちらか）」かを読む
2. 独立か、排反か、どちらでもないかを判断する
3. 独立なら積、排反の和なら単純な足し算、一般の和なら引き算補正を使う

8.例題C：独立な2回

公正なコインを2回投げるとき、1回目が表かつ2回目が裏になる確率を求めます。

P(表) = 1/2, P(裏) = 1/2（独立）
P(表かつ裏) = (1/2)·(1/2) = 1/4
答え: 1/4

1. 各回の確率を書く
2. 独立なので掛ける
3. 必要なら全事象（表表・表裏・裏表・裏裏）で検算する

9.例題D：和（重なりあり）

サイコロ1回で「偶数」または「3以下」になる確率を求めます。

偶数 A = {2,4,6}, P(A)=3/6
3以下 B = {1,2,3}, P(B)=3/6
A∩B = {2}, P(A∩B)=1/6
P(A∪B) = 3/6 + 3/6 − 1/6 = 5/6
答え: 5/6
（集合で数えても {1,2,3,4,6} の5通り）

10.ステップ5：条件付き確率

「すでに B が起きたと分かっているとき、A が起きる確率」が条件付き確率 P(A|B) です。分母が全事象から B に絞られます。

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)   （ただし P(B) ≠ 0）
積の形: P(A ∩ B) = P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A)

1. 条件になっている事象を分母にする
2. 分子は「条件と着目の両方」が起きる場合
3. 独立なら P(A|B)=P(A) になる（条件が情報を増やさない）

11.例題E：条件付き確率

サイコロを1回振って偶数だと分かったとき、それが 2 である確率を求めます。

条件 B = 偶数 = {2,4,6}
着目 A = {2}
P(A|B) = 1/3
答え: 1/3
（偶数3通りのうち2は1通り）

1. 条件「偶数」に世界を絞る（3通り）
2. その中で 2 は1通り
3. 1÷3

12.ステップ6：ベイズの定理（結果から原因を更新）

検査で陽性が出たあと「本当に病気か」など、結果 B が分かったあとに原因 A の確率を更新するのがベイズの定理です。

P(A|B) = P(B|A)·P(A) / P(B)

P(B) はしばしば全確率の公式で求める:
P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|Aᶜ)P(Aᶜ)

• 感度が高くても有病率が低いと、陽性でも本当に病気の確率は意外と低いことがある
• 計算機の「条件付き／ベイズ」タブで数値を入れ替えて感覚をつかむとよい

1. 事前確率 P(A) を用意する（病気の有病率など）
2. 尤度 P(B|A) と P(B|Aᶜ) を用意する（感度・偽陽性率など）
3. 全確率で P(B) を求める
4. ベイズの公式で事後確率 P(A|B) を計算する

13.例題F：ベイズ（検査）

病気の有病率 1%、検査の感度（病気なのに陽性）99%、偽陽性率（病気でないのに陽性）2% のとき、陽性だった人が本当に病気である確率を求めます。

P(病)=0.01, P(健)=0.99
P(+|病)=0.99, P(+|健)=0.02
P(+) = 0.99·0.01 + 0.02·0.99 = 0.0099 + 0.0198 = 0.0297
P(病|+) = 0.0099 / 0.0297 = 1/3 ≈ 33.3%
答え: 約 33.3%（1/3）

1. 10000人想定でもよい: 病気100人、健常9900人
2. 病気のうち陽性 ≈ 99人、健常のうち陽性 ≈ 198人
3. 陽性合計 297人のうち本当に病気は99人 → 99/297=1/3

14.ステップ7：順列と組合せ（場合の数）

確率の分子・分母は「場合の数」になることが多いです。順番を区別するかしないかで、順列と組合せを使い分けます。

順列（順番あり）: ₙPᵣ = n! / (n−r)!
組合せ（順番なし）: ₙCᵣ = n! / (r!(n−r)!)
関係: ₙPᵣ = ₙCᵣ · r!

• 5人から3人を並べる → ₅P₃ = 5×4×3 = 60
• 5人から3人の委員会 → ₅C₃ = 10
• 同じ人が同じ組に入るなら組合せ、順位があるなら順列

1. 「順番・席順・並べ方」が意味を持つか自問する
2. 持つ → 順列、持たない（委員・セット）→ 組合せ
3. 必要なら計算機の ₙPᵣ / ₙCᵣ で検算する

15.例題G：組合せで確率

赤玉3個・白玉2個の計5個から、同時に2個取り出すとき、赤が2個になる確率を求めます（同様に確からしいとする）。

全事象: ₅C₂ = 10
赤2個: ₃C₂ = 3
P = 3/10
答え: 3/10

1. 同時取り出しで順番は不問 → 組合せ
2. 全体の取り出し方 ₅C₂
3. 赤だけから2個 ₃C₂
4. 割る

16.ステップ8：二項分布（同じ試行を繰り返す）

毎回成功確率 p が同じで、独立に n 回試し、成功がちょうど k 回になる確率が二項分布です。

P(X = k) = ₙCₖ · pᵏ · (1−p)ⁿ⁻ᵏ
期待値 E(X) = np
分散 V(X) = np(1−p)

• 条件: 成功／失敗の2通り、p 一定、独立、回数 n が決まっている
• コインの表の回数、正誤問題の正解数、不良品の個数が典型
• 詳しい区間や分位点は二項分布専用計算機も便利

1. 試行回数 n、成功回数 k、1回の成功確率 p を確認する
2. ₙCₖ で「どの k 回が成功か」の選び方を数える
3. pᵏ と (1−p)ⁿ⁻ᵏ を掛ける
4. 「ちょうど／以下／以上」のどれかを読み間違えない

17.例題H：二項分布

公正なコインを10回投げるとき、ちょうど3回表になる確率を求めます。

n=10, k=3, p=1/2
P = ₁₀C₃ · (1/2)³ · (1/2)⁷
  = 120 · (1/2)¹⁰
  = 120 / 1024
  = 15/128 ≈ 0.1172
答え: 15/128（約 11.72%）

18.ステップ9：「少なくとも1回」

同じ試行を n 回独立に繰り返すとき、「少なくとも1回成功」は余事象がいちばん速いです。

P(少なくとも1回) = 1 − (1 − p)ⁿ
P(一度も起きない) = (1 − p)ⁿ

• 「少なくとも2回」などは二項の累積（または余事象の工夫）が必要
• p が小さく n が大きいと、直感より起きやすく感じることがある

1. 1回あたりの成功確率 p を確認する
2. 一度も起きない確率 (1−p)ⁿ を計算する
3. 1 から引く

19.例題I：少なくとも1回

当たる確率 10% のくじを独立に20回引くとき、少なくとも1回当たる確率を求めます。

p=0.1, n=20
P = 1 − 0.9²⁰ ≈ 1 − 0.1216 = 0.8784
答え: 約 87.84%

1. 一度も当たらない = 0.9²⁰
2. 1 − 0.9²⁰
3. 計算機の「反復試行」タブで検算

20.どの公式を選ぶか（早見）

問題文のキーワードから、使う道具を選ぶチェックリストです。

1. 同様に確からしい場合の数だけ → 古典的確率（割る）
2. 「〜でない」「少なくとも1回」→ まず余事象
3. 「かつ／または」＋独立・排反の判断 → 積・和
4. 「〜だと分かったとき」→ 条件付き／ベイズ
5. 並べる・選ぶ → 順列／組合せ
6. 同じ試行を n 回・ちょうど k 回 → 二項
7. 独立反復で少なくとも1回 → 1−(1−p)ⁿ

21.よくある間違い

次のミスに特に注意してください。

• 排反でないのに P(A)+P(B) だけで和を取る（重なりを引き忘れる）
• 独立でないのに単純に掛ける
• 順列と組合せを取り違える
• 条件付きで分母を全事象のままにする
• 「少なくとも1回」を np で近似して終わる（粗い）
• パーセントと小数（0.1 と 10%）を混同する
• 二項で「ちょうど k」と「k 回以上」を読み間違える

22.解くときの手順チェックリスト

テストや宿題で迷ったら、この順で紙に書いてから計算すると安定します。

1. 何を確率にしたいか一文で書く
2. 試行と全事象を決める
3. 独立／排反／条件／反復のどれかをラベルする
4. 公式を1つ選ぶ（早見を使う）
5. 場合の数が必要なら ₙPᵣ / ₙCᵣ を先に出す
6. 計算し、0〜1 に入るか・余事象で検算できるか見る
7. 確率の計算ツールで同じ入力を入れて確認する

23.計算機で確かめる

手順を覚えたら、確率の計算で基本・独立事象・条件付き／ベイズ・順列組合せ・二項・少なくとも1回を試しましょう。より詳しい分布は二項分布・正規分布確率の専用ツールもあわせて使うと理解が深まります。