ルート計算の仕方（ステップ解説）

1.この記事で学ぶ流れ

ルート（平方根）は「2乗すると元に戻る数」を表す記号です。定義を押さえたあと、簡約・四則・有理化・方程式への使い方まで、学校でよく出る操作を順に積み上げます。

1. 平方根・主平方根の意味
2. 完全平方数と整数になるルート
3. 根号の簡約（くくり出し）
4. かけ算・わり算の法則
5. 同類のルートの足し引き
6. 分母の有理化
7. 分数の平方根
8. 方程式 x² = a との関係
9. 近似の考え方
10. 例題とチェックリストで定着

2.ステップ1：平方根とは

a ≥ 0 のとき、2乗すると a になる数のうち 0 以上のものを、a の（主）平方根といい √a と書きます。

√a ≥ 0（定義）
(√a)² = a
例: √9 = 3（ (−3)²=9 だが、√9 は 3 だけ）

• √ の記号を根号（こんごう）という
• ルートの中（a）を中（なか）または被開方数ということもある
• 方程式 x² = a（a>0）の実数解は x = √a と x = −√a の2つ
• √a と書くときは、いつも「プラス側」だけを指す

3.ステップ2：実数で定義できる範囲

実数の範囲では、負の数の平方根は考えません（複素数へ進むと話が変わります）。

a ≥ 0 のときだけ √a が実数として定義される
√0 = 0
√(負の数) → 実数では不可

1. 根号の中が 0 以上か確認する
2. 負なら「実数では定義できない」と書く
3. 文字を含むときは、中 ≥ 0 の条件を別途考える

4.ステップ3：完全平方数

整数の2乗になっている数を完全平方数といいます。このとき平方根は整数になります。

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, …
√1=1, √4=2, √9=3, √16=4, …

• 暗記しておくと簡約が速くなる
• 完全平方かどうかは平方数判定計算機でも確認できる
• √2, √3, √5 などは整数にならず、無理数

5.例題A：基本の値

次の値を求めます。√36、√0、√2（大小のイメージ）。

√36 = 6
√0 = 0
1²=1 < 2 < 4=2² なので 1 < √2 < 2
答え: 6, 0,（約 1.414）

6.ステップ4：根号の簡約

中に完全平方の因数があれば、外に出して式を簡単にします。これを根号の簡約といいます。

√(a²b) = a√b   （a≥0, b≥0）
例: √72 = √(36×2) = 6√2

• √8 = √(4×2) = 2√2
• √50 = √(25×2) = 5√2
• √12 = √(4×3) = 2√3

1. 中の数を素因数分解する（または大きな平方因数を探す）
2. 完全平方の部分を見つける（4,9,16,25,36…）
3. √(k² · m) = k√m の形にする
4. k は正の数として外に出す

7.例題B：簡約

√72 と √18 を簡約します。

√72 = √(36×2) = 6√2
√18 = √(9×2) = 3√2
答え: 6√2, 3√2

1. 72=36×2、18=9×2 を見つける
2. 平方の部分を外に出す

8.ステップ5：かけ算・わり算

根号どうしの積・商は、中どうしの積・商にしてから簡約するのが基本です。

√a · √b = √(a·b)   （a≥0, b≥0）
√a / √b = √(a/b)   （a≥0, b>0）
例: √8 · √18 = √144 = 12
　　（または 2√2 · 3√2 = 6·2 = 12）

1. 可能なら先にそれぞれ簡約する
2. 積なら中を掛け、商なら中を割る
3. 最後にもう一度簡約する
4. 係数があるときは係数どうしも掛ける／割る

9.例題C：かけ算

√8 · √18 を計算します。

方法1: √(8·18) = √144 = 12
方法2: 2√2 · 3√2 = 6 · (√2)² = 6·2 = 12
答え: 12

10.ステップ6：足し算・引き算（同類のみ）

ルートの足し引きは、簡約したあとに「中が同じ」ものだけ係数を足し引きできます。

p√m ± q√m = (p±q)√m
例: √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2
注意: √2 + √3 はそのまま（まとめられない）

1. 各項をできるだけ簡約する
2. 中が同じグループに分ける
3. 同じ中どうしだけ係数を計算する
4. 違う中は並べておく

11.例題D：加減

√8 + √18 − √2 を計算します。

√8 + √18 − √2
= 2√2 + 3√2 − √2
= (2+3−1)√2
= 4√2
答え: 4√2

12.ステップ7：分母の有理化

分母に根号が残っていると扱いにくいので、分母を有理数にする変形を有理化といいます。

1/√a = √a / a   （a>0）
例: 1/√2 = √2 / 2

分母が √a ± √b のとき:
(√a − √b)(√a + √b) = a − b を使う（共役を掛ける）

1. 分母が単独の √a なら、分子・分母に √a を掛ける
2. 分母が √a±√b なら、共役 √a∓√b を掛ける
3. 簡約できる係数は約分する
4. 有理化計算機も検算に使える

13.例題E：有理化

1/√3 と 1/(√5 − √2) を有理化します。

1/√3 = √3 / 3

1/(√5−√2) · (√5+√2)/(√5+√2)
= (√5+√2) / (5−2)
= (√5+√2) / 3
答え: √3/3, (√5+√2)/3

14.ステップ8：分数の平方根

分数の平方根は、分子・分母それぞれの平方根に分けられます（中が負でないとき）。

√(a/b) = √a / √b   （a≥0, b>0）
例: √(9/4) = 3/2
　　√(8/18) = √(4/9) = 2/3

1. 分数を先に約分できるなら約分する
2. √(分子)/√(分母) に分ける
3. それぞれ簡約・有理化する

15.例題F：分数の平方根

√(8/50) を簡単にします。

8/50 = 4/25
√(4/25) = 2/5
答え: 2/5

1. 8/50 を約分 → 4/25
2. √4/√25 = 2/5

16.ステップ9：方程式との関係

x² = a の形では平方根が解になります。二次方程式の解の公式でも √D が登場します。

x² = a（a>0）→ x = ±√a
x² = 0 → x = 0
x² = 負 → 実数解なし

解の公式: x = (−b ± √(b²−4ac)) / (2a)

• 三平方の定理でも斜辺 = √(a²+b²)
• 詳しくは解の公式・三平方の定理の学習ページも参照

1. 両辺が2乗の形なら平方根をとる（± を忘れない）
2. √ を取ったあとは主平方根なので、方程式の解では ± を自分で付ける
3. 判別式 D のルートは簡約できることが多い

17.例題G：方程式

x² = 50 を解きます。

x = ±√50 = ±√(25×2) = ±5√2
答え: x = ±5√2

18.ステップ10：近似の感覚

電卓がないときも、挟み込みでおおよその大きさが分かります。平方根計算機の近似（バビロニア法）タブでは反復の様子も見られます。

例: √10
3²=9, 4²=16 → 3 < √10 < 4
より細かく: 3.1²=9.61, 3.2²=10.24 → 3.1 < √10 < 3.2

1. 前後の完全平方で挟む
2. 必要なら小数第1位まで試す
3. 精密値が必要なら計算機を使う

19.どの操作を使うか（早見）

問題の形から手順を選びます。

1. 値を簡単にしたい → まず簡約
2. √どうしの積・商 → 中を掛ける／割る
3. √どうしの和・差 → 簡約して同類だけ足し引き
4. 分母に √ → 有理化
5. 分数の √ → 約分してから √分子/√分母
6. x² = a → ±√a（簡約）
7. おおよそ知りたい → 挟み込みまたは計算機

20.よくある間違い

次のミスに特に注意してください。

• √(a+b) = √a + √b と思ってしまう（一般には不可）
• √(a·b) を √a + √b と書く
• 方程式で ± を付け忘れる（√a は正だけ）
• 簡約で外に出す数の符号・絶対値を誤る
• 違う中のルートを無理に足す（√2+√3 など）
• 有理化で分子だけ変えて分母を忘れる
• 負の数にルートを付けて進めてしまう

21.解くときの手順チェックリスト

計算問題では、この順で進めると安定します。

1. 根号の中が 0 以上か確認する
2. 約分・簡約できるところをすべて簡約する
3. 四則なら法則（積商／同類の加減）を適用する
4. 分母に根号が残っていれば有理化する
5. 係数を約分して答えを整える
6. 可能なら (答え)² で中に戻るか検算する
7. 平方根計算機で同じ式を入れて確認する

22.計算機で確かめる

手順を覚えたら、平方根計算機で √x・簡約・四則・分数・近似を試しましょう。分母の有理化、累乗根、三平方の定理、解の公式のツールとあわせると、ルートが登場する単元をひととおりカバーできます。