多項式の計算（ステップ解説）

1.この記事で学ぶ流れ

多項式は、文字の累乗を含む項を足し合わせた式です。用語をそろえたあと、加減・展開・公式・代入、そして因数分解との関係までを順に学びます。

1. 項・係数・次数・定数項の意味
2. 単項式・多項式・整式の区別
3. 同類項の足し引き
4. 分配法則と FOIL による展開
5. 展開公式（完全平方・平方の差など）
6. 代入と整理
7. 因数分解との関係（逆操作）
8. 例題とチェックリストで定着

2.ステップ1：用語を押さえる

多項式を扱うときは、次の言葉を図や式に書き込めるようにします。

例: 2x³ − 4x + 1
項は 2x³, −4x, 1 / 次数は 3 / 定数項は 1

• 項 … ＋や−で区切られたひとかたまり（例: 3x², −5x, 7）
• 係数 … 項についている数（3x² の係数は 3）
• 次数 … その項の文字の指数の和（3x² は次数 2、−5x は 1、7 は 0）
• 多項式の次数 … 項のうちいちばん高い次数
• 定数項 … 文字を含まない項
• 降べきの順 … 次数の高い順に並べること（例: x² − 5x + 6）

3.ステップ2：単項式と多項式

項が1つだけなら単項式、2つ以上なら多項式と呼びます（学校では整式としてまとめて扱うことも多いです）。

• 単項式の例: 5, −3x, 2x²y
• 多項式の例: x + 1, x² − 5x + 6
• 一次式: 次数が 1（例: 2x − 3）
• 二次式: 次数が 2（例: x² − 5x + 6）

4.ステップ3：同類項の加減

文字部分が同じ項を同類項といいます。足し引きできるのは同類項どうしだけです。

3x² + 5x² = 8x²
2x − 7x = −5x
注意: 3x² + 5x はそのまま（まとめられない）

1. 各項の文字部分（x², x, 定数など）を見る
2. 同じものどうしにグループ分けする
3. 係数だけ足し引きする
4. 降べきの順に並べ直す

5.例題A：加減

(2x² + 3x − 1) + (x² − 5x + 4) を計算します。

(2x² + 3x − 1) + (x² − 5x + 4)
= (2+1)x² + (3−5)x + (−1+4)
= 3x² − 2x + 3
答え: 3x² − 2x + 3

1. かっこを外す（足し算なので符号はそのまま）
2. x², x, 定数ごとにまとめる

6.例題B：引き算

(3x² − x + 2) − (x² − 4x + 5) を計算します。

(3x² − x + 2) − (x² − 4x + 5)
= 3x² − x + 2 − x² + 4x − 5
= (3−1)x² + (−1+4)x + (2−5)
= 2x² + 3x − 3
答え: 2x² + 3x − 3

1. 引く式の各項の符号を反転してかっこを外す
2. 同類項をまとめる

7.ステップ4：分配法則

かけ算では、かっこを外すときに分配法則を使います。

k(a + b) = ka + kb
例: 3(2x − 5) = 6x − 15

1. 外の数（または単項式）を、中の各項に掛ける
2. 符号に注意（マイナスの分配）
3. 同類項があればまとめる

8.ステップ5：2つの一次式の積（FOIL）

(px + q)(rx + s) の展開は、4通りのかけ算をすべて書いてからまとめます。FOIL（先・外・内・後）が覚え方の一例です。

(px + q)(rx + s)
= pr x² + (ps + qr)x + qs

F: px·rx
O: px·s
I: q·rx
L: q·s

1. 先どうし・外どうし・内どうし・後どうしを掛ける
2. 出てきた x の項をまとめる
3. 降べきの順に書く
4. 因数分解で戻るか、代入で検算する

9.例題C：FOIL

(x − 2)(x − 3) を展開します。

F: x·x = x²
O: x·(−3) = −3x
I: (−2)·x = −2x
L: (−2)·(−3) = 6
まとめ: x² − 5x + 6
答え: x² − 5x + 6

10.ステップ6：覚えておく展開公式

次の公式は展開も因数分解も両方で使います。形を見てすぐ出せるようにします。

(A + B)² = A² + 2AB + B²
(A − B)² = A² − 2AB + B²
(A + B)(A − B) = A² − B²

三次（発展）:
(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³
A³ ± B³ = (A ± B)(A² ∓ AB + B²)

• 完全平方式 … (A±B)² の形
• 平方の差 … A²−B² の形
• 公式を使ったら、可能なら係数を具体的に展開して検算

11.例題D：展開公式

(x + 3)² と (x + 4)(x − 4) を展開します。

(x+3)² = x² + 2·x·3 + 9 = x² + 6x + 9
(x+4)(x−4) = x² − 16
答え: x²+6x+9, x²−16

12.ステップ7：代入

文字に数を入れて値を求めるのが代入です。計算順は累乗 → かけ算 → 足し引きです。

f(x) = x² − 5x + 6 のとき f(2) = 4 − 10 + 6 = 0

1. 式を f(x) のように書いておくとわかりやすい
2. x の値をすべての文字に同時に入れる
3. 累乗を先に計算する
4. かけ算・足し引きの順でまとめる

13.例題E：代入

f(x) = 2x² − 3x + 1 について f(−1) を求めます。

f(−1) = 2(−1)² − 3(−1) + 1
= 2·1 + 3 + 1
= 6
答え: 6

1. (−1)² = 1 に注意（符号）
2. −3·(−1) = +3

14.ステップ8：因数分解との関係

展開と因数分解は逆の操作です。展開で検算し、因数分解で方程式を解く、という往復が基本です。

展開: (x−2)(x−3) → x² − 5x + 6
因数分解: x² − 5x + 6 → (x−2)(x−3)

• 共通因数でくくる
• 公式（平方の差・完全平方など）に当てはめる
• 二次式はたすきがけ
• 詳しくは学習ページ「因数分解の仕方」へ

15.どの操作を使うか（早見）

問題の指示から手順を選びます。

1. 「計算せよ」「簡単にせよ」で和差 → 同類項をまとめる
2. 「展開せよ」で積 → 分配／FOIL／公式
3. 公式の形が見える → 展開公式を優先
4. 「値を求めよ」→ 代入
5. 「因数分解せよ」→ 展開の逆（因数分解計算機）
6. 終わったら展開や代入で検算

16.よくある間違い

次のミスに特に注意してください。

• 引き算でかっこを外すとき、一部の項だけ符号を変える
• (A+B)² = A² + B² と書いて 2AB を忘れる
• FOIL で外・内のどちらかを落とす
• x² と x を同類項だと思って足す
• 代入で (−)² の符号を間違える
• 展開と因数分解を取り違える
• 降べきの順に並べず答え合わせで混乱する

17.解くときの手順チェックリスト

式の計算では、この順で進めると安定します。

1. 次数・項・同類項を確認する
2. 加減なら符号に注意してかっこを外す
3. 展開なら分配／FOIL／公式のどれかを選ぶ
4. 同類項をまとめて降べきの順に書く
5. 代入なら累乗を先に計算する
6. 可能なら逆操作や別の方法で検算する
7. 多項式計算機・因数分解計算機で確認する

18.計算機で確かめる

手順を覚えたら、多項式計算機で展開・加減・代入を試しましょう。因数分解、平方の差、解の公式のツールとあわせると、式の計算から方程式までつながって理解できます。